Kaströrelse – Enkel förklaring med många exempel

Inledning – Introduktion till kaströrelse

Om du någonsin har kastat en boll, skjutit med en pilbåge eller till och med bara hoppat, har du upplevt fenomenet som kallas kaströrelse. Kaströrelse, även kallat projektilrörelse, kan först uppfattas som ett halvklurigt del av fysiken. Men låt oss dyka ner i detta fenomen för att försöka förstå dess kärnkoncept och formler. Då blir det förhoppningsvis enklare att lösa uppgifterna!

Vad är en kaströrelse?

Kaströrelse är namnet vi ger till den rörelse ett objekt (ett föremål/en sak) gör när det kastas i luften. Har du märkt hur en boll du kastar rör sig i en bågformad linje innan den träffar marken? Det är precis vad vi menar med kaströrelse. En kaströrelse är en tvådimensionell rörelse som liknar formen på en upp- och nedvänd skål, eller mer korrekt, en parabel. Denna rörelse sker när du kastar något med en viss kraft (eller hastighet) i en viss riktning som inte är rakt uppåt.

[Schematisk bild på kaströrelse]

En fantastisk sak med fysik är hur vi kan bryta ner komplexa fenomen till enklare delar för att bättre förstå dem. Detta gäller inte minst en kaströrelse. Tänk på någon av kasten vi beskrev i inledningen. Dessa kan alla delas upp i två oberoende rörelser: en rörelse i sidled (x-led) och en rörelse i höjdled (y-led). Så, låt oss förstå hur detta fungerar, men först låt oss förklara begreppet komposantuppdelning!

Att dela upp kaströrelsen i komposanter

För att kunna räkna på en kaströrelse måste vi förenkla den. Hur gör vi då det? Jo, vi använder en teknik som kallas ”komposantuppdelning”. Kort sagt, vi tar den initiala hastigheten (starthastigheten) och vinkeln vi kastar bollen med, och använder trigonometri för att bryta ner denna hastighet i två delar: en del som är riktad i sidled (v0x – starthastigheten i x-led) och en del som är riktad uppåt (v0y – starthastigheten i y-led). Vi kan använda sinus och cosinus för att göra detta: v0x = v0 * cos(vinkel) och v0y = v0 * sin(vinkel). Vinkeln vi syftar på här är vinkeln mot horisontalplanet. Detta är oftast vinkeln från den platta marken, som ni ser i figuren ovanför.

OBS. Kom ihåg att ställa om miniräknaren till radianer ifall vinkeln ges i radianer och till grader om vinkeln ges i grader!

Genom att dela upp en kaströrelse i dessa två oberoende komposanter, kan vi bättre förstå och beräkna dess rörelse. Men kom ihåg, trots att vi behandlar dem separat, händer dessa två rörelser samtidigt och det är kombinationen av dem som ger bollens bågformade bana. Nu när vi lärt oss hur vi komposantuppdelar så ska vi kika närmare på varje rörelse för sig!

Rörelsen i Sidled (x-led)

Först, låt oss börja prata om rörelsen i sidled. Nu har du komposantuppdelat till en hastighet i sidled. Fundera på vilka krafter som påverkar objektet i sidled. De enda som påverkar är eventuell vind eller friktion från luftmotståndet MEN dessa ignorerar vi vanligtvis vid beräkningar. Så, det finns inte några krafter som verkar på objektet i sidled. Därför behåller objektet denna hastighet under hela sin flygtid. Så, om vi kallar den initiala hastigheten i sidled för v0x, kan vi säga att bollens position i sidled vid en viss tidpunkt (x) är starthastigheten (v0x) gånger tiden (t) som den har varit i luften. Så för att veta hur lång den har färdats måste vi veta hur länge den har varit i luften, och då behöver vi analysera rörelsen i y-led.

Rörelsen i Höjdled (y-led)

Nu till rörelsen i höjdled (y-led). Precis som för rörelsen i x-led bortser vi från vind och friktion men till skillnad från rörelsen i x-led, påverkas rörelsen uppåt och nedåt av jordens dragningskraft, som vi kallar gravitationen. Gravitationen drar alltid objektet nedåt, vilket ger den en nedåtriktad acceleration (som brukar förkortas g). Därför börjar objektet med en initial hastighet uppåt (v0y), men hastigheten minskar gradvis tills bollen når sin högsta punkt (där hastigheten i y-led är 0), för att sedan öka i negativ riktning när objektet faller tillbaka ner. Vi kan beskriva bollens position i höjdled (y) med formeln: y = v0y * t – 0,5 * g * t^2.

[bild på de olika stadierna av en kaströrelse, med fokus på y-led]

De viktiga bitarna i kaströrelsebegreppet

Låt oss nu titta på några viktiga begrepp som vi behöver känna till när vi pratar om kaströrelse. Några av dessa har vi redan nämnt men här kommer en tydlig förklaring.

1. Starthastighet: Detta är den initiala hastigheten som du kastar objektet med. Tänk dig att du kastar en boll – ju hårdare du kastar, desto större blir starthastigheten.
2. Utgångsvinkel: Detta är vinkeln som du kastar objektet på i förhållande till marken (horisontalplanet). Om du kastar bollen rakt fram, är utgångsvinkel 0 grader. Om du kastar bollen rakt upp, är vinkeln 90 grader.
3. Maximal höjd: Detta är den högsta punkten som bollen når under dess flygning. Efter att ha nått denna punkt, börjar bollen falla ner igen. Vid den maximala höjden är hastigheten i Y-led = 0.
4. Räckvidd: Detta är det totala avståndet som bollen färdas horisontellt från punkten där du kastade den till den plats där den landar.
5. Flygtid: Detta är den totala tiden som bollen spenderar i luften, från det att den lämnar din hand tills den träffar marken igen.

Formler för kaströrelse

Nedanför finna alla formler du behöver för att lösa uppgifter om kaströrelse. Dessa kan behöva kombineras för att räkna ut det som efterfrågas. Kom ihåg att det gäller att hålla tungan rätt i mun när du växlar mellan y-led och x-led.

Likformigt föränderlig rörelse (rörelse med konstant acceleration)

Standarduppgifter för Kaströrelse

Här nedanför presenteras fyra olika typer av uppgifter som du garanterat kommer att stöta på när du ska räkna på kaströrelser. Efter varje uppgift presenteras ett lösningsförslag. I uppgifterna används g = 9.82 m/s^2.

Uppgift 1: Beräkna längden i en kaströrelse

Peter står på en fotbollsplan och skjuter en boll till sin polare Tim. Men hur långt bort ska Tim stå för att ta emot bollen? Peter skjuter bollen med en utgångsvinkel på 30 grader och en starthastighet på 15 m/s. Hur långt bort ska Tim stå för att ta emot bollen?

Lösningsförslag:

För att lösa denna uppgift behöver vi först komposantuppdela starthastigheten i två delar: x-led (v0x = v0 * cos(α)) och y-led (v0y = v0 * sin(α)). Med vår starthastighet på 15 m/s och utgångsvinkel på 30 grader blir starthastigheten i x-led (v0x) 13 m/s och y-led (v0y) 7.5 m/s.

Nu behöver vi beräkna flygtiden (t). Detta kan göras genom att vi endast kollar på rörelsen i y-led och med formeln:

Här vet vi att när bollen landar igen så landar den på samma plats i höjdled (y-led) som när den startade. Alltså är lägesförändringen (s) = 0. Tiden t kan inte heller vara 0 för att det är orimligt att bollen kommer fram till Tim efter 0 sekunder så vi kan dividera bort ett t. Om vi sedan löser ut t och sedan sätter in beräknade värden får vi:

t = 2 * v0y / a, vilket ger oss t = 2 * 7.5 / 9.82 ≈ 1.53 sekunder färdas bollen i luften.

Sedan kan vi beräkna den totala sträckan (s) som bollen färdas i x-led under dessa 1.53 sekunder med formeln s = v0x * t, vilket ger oss s = 13 * 1.53 ≈ 19.89 meter.

Svar: Tim borde stå 19,89 meter bort för att ta emot bollen.

Uppgift 2: Högsta höjd i en kaströrelse

Anna står vid en klippa vid havet och kastar en sten. Stenen färdas med en utgångsvinkel på 60 grader och en starthastighet på 10 m/s. Vilken blir stenens högsta höjd?

Lösningsförslag:

Återigen, börjar vi med att först komposantuppdelar starthastigheten i två delar, x-led (v0x = v0 * cos(α)) och y-led (v0y = v0 * sin(α)). Med vår starthastighet på 10 m/s och utgångsvinkel på 60 grader blir v0x 5 m/s och v0y 8.66 m/s. (Testa själv så att du får samma!)

Det vi vet i punkten där stenen kommer ha sin högsta höjd är att hastigheten i y-led är 0. Den högsta punkten är alltså i vändpunkten innan den börjar falla ner mot marken igen. Denna insikt använder vi för att lösa problemet. Sedan vänder vi oss till vår formelsamlig för att se ifall det finns någon formel som innehåller både en starthastighet (v0), hatighet (v) och sträcka (s) och hittar denna:

Genom att sätta v till 0 och lösa ut s i formeln ovan kan vi beräkna den högsta höjden i en kaströrelse. Formeln blir då s = (v0y²) / (2 * g). Med värdena vi har ger detta oss h = (8.66)² / (2 * 9.82) ≈ 3.81 meter.

Uppgift 3: Var befinner sig bollen i en kastparabel?

Maria kastar en boll med en utgångsvinkel på 45 grader och en starthastighet på 20 m/s. Var befinner sig bollen efter 2 sekunder?

Lösningsförslag:

För att lösa detta problem, behöver vi först komposantuppdela vi starthastigheten i två delar. Med vår starthastighet på 20 m/s och utgångsvinkel på 45 grader blir v0x och v0y båda 14.14 m/s.

TIPS: Om du kommer över en uppgift där vinkeln är 45 grader (eller pi/4) så kan du spara dig lite beräkningar genom att veta att hastigheten i x- och y-led blir samma!

För att avgöra var bollen befinner sig vid en given tidpunkt, i detta fall efter 2 sekunder, använder vi de formerna för x-led och y-led separat. Vi stoppar helt enkelt in de beräknade hastigheterna i en av formlerna ovan som innehåller en sträcka (s) – som frågas efter i uppgiften, starthastighet v0. Att formeln innehåller en acceleration är inga problem eftersom vi vet att accelerationen i x-led är 0 och accelerationen i y-led är -9.82 m/s!

För x-led, använder vi x = v0x * t, vilket ger oss x = 14.14 * 2 = 28.28 meter.

För y-led, använder vi y = v0y * t - 0.5 * g * t², vilket ger oss y = 14.14 * 2 - 0.5 * 9.82 * (2)² ≈ 9.12 meter.

Uppgift 4: Beräkna starthastighet i en kaströrelse

Handbollspelaren Johan kastar en boll med utgångsvinkel 45 grader som når en maximal höjd av 10 meter efter att ha varit i luften i 2 sekunder. Men, vilken starthastighet hade bollen?

Lösningsförslag:

För att beräkna starthastigheten från den givna informationen, kan vi använda den andra formeln i listan med formeln ovan och lösa den för v0y: v0y = sqrt(2 * g * h), vilket ger oss v0y = sqrt(2 * 9.82 * 10) ≈ 14.15 m/s. Alltså var starthastigheten i y-led 14,15 m/s. Nu behöver vi beräkna den ”totala” starthastigheten.

Om vi antar att utgångsvinkeln var 45 grader, då är hastigheten i x-led densamma som i y-led, dvs v0x = v0y = 14.15 m/s. Därmed kan vi beräkna den totala starthastigheten med v0 = sqrt((v0x)² + (v0y)²), vilket ger oss v0 = sqrt((14.15)² + (14.15)²) ≈ 20 m/s. Hade den inte varit fallet så behöver vi använda formeln för komposantuppdelning fast ”åt andra hållet”.

Vanliga misstag att undvika vid beräkningar

Ett vanligt misstag som studenter gör är att de glömmer att kaströrelse sker i två dimensioner – både uppåt/nedåt och framåt/bakåt. Ett annat vanligt misstag är att inte omvandla vinklar till radianer när de används i formler.

Quiz – Har du förstått?

1. Vilka två komponenter bryts kaströrelsen ner till?
   • a) Horisontell och vertikal
   • b) Diagonal och cirkulär
   • c) Cirkulär och vertikal
   • d) Horisontell och diagonal
2. Vilka krafter (i en klassisk fysikuppgift) påverkar objektets rörelse i sidled (x-led) under kaströrelse?
   • a) Gravitationen och luftmotståndet
   • b) Bara gravitationen
   • c) Bara luftmotståndet
   • d) Ingen kraft påverkar

Facit:

1. a) Horisontell och vertikal
2. d) Ingen kraft påverkaR